Tension de surface
Énergie de surface
Entrainement oral
Comment aborder cet exercice d’entrainement à l’épreuve d’oral du concours AGRO-VETO ?
Vous pouvez une première fois le faire dans les conditions réels, c’est à dire préparer pendant 30 minutes, pour cet exercice on peut rester sur 20 minutes car il n’y a pas de question ouverte. Si vous bloquez vous pouvez regarder la section ‘Les formules à connaitre’ pour vous mettre sur la piste et par la suite le ‘conseil’.
Énergie de surface : $E_S = \gamma S$ ; Énergie potentielle de pesanteur $E_P = mgh$
Surface d’une sphère : $S= 4 \pi R^2$
Volume d’une sphère : $V= \frac{4}{3} \pi R^3$
EXERCICE 1 : Chute d'une goutte d'eau (temps de préparation : 20 minutes)
On considère une goutte d’eau de diamètre d=1mm, placée à une hauteur h d’une surface hydrophobe. Depuis quelle hauteur faut-il lâcher la goutte d’eau pour qu’elle se fragmente en 10 gouttelettes identiques ?
On donne $\gamma=73mJ.m^-2$
Déterminer quelles quantités restent constantes après l’impact sur la surface et la formule qui permettrait de remonter à la hauteur h.
CORRIGÉ
Réponse
Certaines quantités restent constantes, c’est la cas du volume total, on peut tout à fait se poser la question de l’énergie de surface (est elle la même avant et après?). Nous y reviendrons par la suite.
La difficulté dans cet exercice d’oral est de trouver le lien entre une hauteur et le fait que la goutte de départ se divise en 10 gouttelettes. On suspecte quand même que l’énergie doit se cacher derrière (énergie potentielle de pesanteur) que l’on pourrait rapprocher de l’énergie de surface de la goutte ou des gouttelettes. C’est donc une piste pour démarrer.
Énergie potentielle de pesanteur $E_P = mgh$ avec ici h que l’on cherche à déterminer.
Les calculs que l’on peut déjà faire :
Pour la goutte de rayon $R_G$ :
Volume : $V_G=\frac{4}{3} \pi R_G ^3$ $=\frac{4}{3} \pi (\frac{d_G}{2}) ^3 $
Énergie de surface : $E_S = \gamma S = \gamma \times 4 \pi R_G ^2$
Pour les 10 gouttelettes :
Le volume des 10 gouttelettes $V_g$ est le même que celui de la goutte $V_G$,soit :
$V_G = 10 \times V_g$, avec $V_g=\frac{4}{3} \pi R_g ^3$ $=\frac{4}{3} \pi (\frac{d_g}{2}) ^3 $
On peut déjà trouver un lien entre les dimensions de la goutte et des gouttelettes en utilisant l’égalité sur les volumes :
$\frac{4}{3} \pi (\frac{d_G}{2}) ^3 =10 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{d_g}{2}) ^3 $ , ce qui donne : $d_g = \frac{d_G}{\sqrt[3]{10}}$
on peut donc calculer l’énergie de surface d’une gouttelette :
$E_Sg= \gamma S = \gamma \times 4 \pi (\frac{d_g}{2})^2$ $= \gamma \times 4 \pi (\frac{d_G}{2 \sqrt[3]{10} })^2$
pour les 10 gouttes : $E_{Sg}= 10 \times \gamma \times 4 \pi (\frac{d_G}{2 \sqrt[3]{10} })^2$ $=\frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2} \times \gamma \times 4 \pi (\frac{d_G}{2 })^2$ $=\frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2} \times E_{SG}$
Or $=\frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2} = \frac{10}{10^{\frac{2}{3}}} \gt 1$
On en conclut que l’énergie de surface des 10 gouttelettes est supérieure à l’énergie de surface de la goutte (ce qui n’était évident de prime abord).
on aurait pu s’en douter car pour créer les 10 gouttelettes il faut donner de l’énergie à la goutte (ici de l’énergie potentielle) pour créer les 10 gouttelettes.
La différence d’énergie est donc égale à l’énergie potentille que l’on amène en plaçant la goutte en hauteur. soit :
$E_{Sg} – E_{SG} = E_P$
$\frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2} \times E_{SG} – E_{SG} = mgh$ soit :
$h = \frac{E_{SG}(\frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2} – 1)}{\rho Vg}$ $= \frac{\gamma 4 \pi R_G^2 (\frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2} – 1)}{\rho \frac{4}{3} \pi R_G^3 g}$ $=\frac{3 \gamma \frac{10}{ \sqrt[3]{10}^2}}{\rho R_G g} = 25,7cm$ On connait la masse volumique de l’eau qui est de $1000kg.m^{-3}$
