Physique BCPST
CIRCUIT RC | Charge et décharge
Exercice 1 : Résistance de fuite d'un condensateur
On démonte d’un circuit un condensateur de capacité $C= 100 pF$ initialement chargé sous une tension de $E= 10 V$ et on le laisse posé sur la paillasse. Au bout de $deux minutes$, la tension aux bornes du condensateur ne vaut plus que $1 V$.
1) Proposer une origine à cette décharge spontanée du condensateur.
Réponse
Un condensateur est constitué de deux armatures se faisant face séparées par un isolant. Si cet isolant n’est pas parfait, alors des charges peuvent malgré tout parvenir à passer d’une armature à l’autre en traversant l’isolant. Ainsi, la décharge spontanée est due à l’imperfection de l’isolant du condensateur.
2) Justifier qualitativement qu’un condensateur se déchargeant spontanément peut se modéliser par l’ajout d’une résistance en parallèle d’un condensateur idéal. Cette résistance, notée $R_f$, est appelée résistance de fuite ou résistance d’isolation du condensateur.
Réponse
Même imparfait, un condensateur est d’abord et avant tout un condensateur : l’élément le plus important de la modélisation est donc un condensateur idéal. Parmi les dipôles modèles « de référence », celui qui permet de modéliser un déplacement de charge au travers d’un milieu qui n’est pas parfaitement conducteur est une résistance, qui constitue donc le deuxième élément de la modélisation. Reste à savoir comment placer cette résistance. Si elle est montée en série avec le condensateur, alors en régime permanent celui-ci impose son comportement d’interrupteur ouvert et aucun courant ne circule dans la branche où il se trouve : cela ne correspond pas à la situation expérimentale envisagée. On en déduit que la résistance de fuite doit être placée en parallèle du condensateur : dans ce cas, même en régime permanent, ce modèle permet de décrire qu’un courant peut traverser le condensateur non-idéal
3) Calculer numériquement la résistance de fuite du condensateur considéré.
Réponse
Ici, l’énoncé indique qu’à $t_1 = 2 min = 120s$ , $u(t_1)= \frac{U_0}{10}$ c’est à dire $ \frac{U_0}{10} = U_0 e^{- \frac{t_1}{\tau}}$ soit : $t_1 = \tau ln 10$
On déduit alors de l’expression de $\tau$ : $R_f = \frac{t_1}{Cln10} = 5.10^8 \Omega$
Exercice 1 : Condensateur alimenté par deux générateurs
Dans le montage ci-contre, l’interrupteur est fermé à l’instant $t = 0$.
1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$.
Réponse
Loi des nœuds : $i_C = i_1 + i_2$ $\Rightarrow$ $C \frac{du_C}{dt} = \frac{2 u_1}{R} + \frac{u_2}{R}$ $\Rightarrow$ $C \frac{du_C}{dt} = \frac{2 (\frac{E}{2}- u_C)}{R} + \frac{(E – u_C)}{R}$ $\Rightarrow$ $C \frac{du_C}{dt} = \frac{2E}{R} – \frac{3}{R} u_C$ $\Rightarrow$ $\frac{du_C}{dt} + \frac{3 u_C}{RC} = \frac{2E}{RC}$, soit sous forme canonique : $\frac{du_C}{dt} + \frac{u_C}{\tau} = \frac{2E}{3 \tau}$ avec $\tau=\frac{RC}{3}$
2) Résoudre cette équation.
Réponse
équation homogène : $\frac{du_{C1}}{dt} + \frac{u_{C1}}{\tau} =0$
Solution de l’équation homogène : $u_{C1}= A e^{- \frac{t}{\tau}}$
équation particulière : $\frac{du_{C2}}{dt} + \frac{u_{C2}}{\tau} = \frac{2E}{3 \tau}$
on prend $u_{C2}=cte$ $\Rightarrow$ $ \frac{u_{C2}}{\tau} = \frac{2E}{3 \tau}$ $\Rightarrow$ $u_{C2} = \frac{2E}{3}$
Solution totale : $u_C = u_{C1} + u_{C2} = A e^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{2E}{3}$
Condition initiale : $u_C(t=0) =0$ $\Rightarrow$ $u_C = \frac{E}{3} e^{- \frac{t}{\tau}} + \frac{2E}{3}$
3) Déterminer le temps $t_1$ nécessaire pour que la valeur finale soit atteinte à $1%$ près.
Réponse
La tension $u_C$ est décroissante. Donc la valeur finale est atteinte à $1$% près à l’instant $t_1$ tel que : $u_C(t_1)= \frac{101}{100} \frac{2}{3}E$ $\Rightarrow$ $u_C(t_1) = \frac{E}{3} e^{- \frac{t_1}{\tau}} + \frac{2E}{3} =\frac{101}{100} \frac{2}{3}E$ $\Rightarrow$ $t_1= – \tau ln(0,02)$
4) Exprimer la puissance dissipée. Interpréter sa valeur finale.
Réponse
L’énergie dissipée l’est par effet Joule dans les résistances. La puissance dissipée dans la résistance $R$ vaut :
$P_1 = \frac{u_1^2}{R} = \frac{(E-u_C)^2}{R}$ $=\frac{E^2}{9R}(e^{-\frac{t}{\tau}}-1)^2$
De même la puissance dissipée dans la résistance $R/2$ vaut :
$P_2 = \frac{u_2^2}{\frac{R}{2}} =2 \frac{(\frac{E}{2}-u_C)^2}{R}$ $=2\frac{E^2}{9R}(e^{-\frac{t}{\tau}}-\frac{1}{2})^2$
La puissance totale dissipée vaut donc :
$P_{diss}=P_1 + P_2 = \frac{E^2}{9R}[3 e^{-\frac{2t}{\tau}} – 4 e^{- \frac{t}{\tau}}+ \frac{3}{2}]$
Lorsque t tend vers l’infini, la puissance dissipée tend vers : $\frac{E^2}{6R}$
