Physique BCPST 1
Circuits | Loi des mailles
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B. Mesure piézorésistive de pression artérielle.
Afin d’obtenir une mesure de la pression artérielle en continu, la réalisation d’un transducteur de pression est nécessaire. Un transducteur de pression convertit un signal de pression 𝑃(𝑡) en une tension électrique directement mesurable $𝑢_{mes(𝑡)}$.
Un transducteur de pression largement utilisé dans le domaine de la santé exploite le phénomène de piézorésistivité. La piézorésistivité traduit le fait que la résistance électrique de certains matériaux varie selon la pression à laquelle ils sont soumis. Cette dépendance n’est pas due aux variations des caractéristiques géométriques du matériau.
Aucune connaissance sur la piézorésistivité n’est nécessaire pour traiter les questions de cette partie.
On considère un matériau piézorésistif dont la résistance dépend de la pression sous la forme suivante :
$𝑅 = 𝑅_0 [1 + 𝑘(𝑃 − 𝑃_{atm})]$
$𝑃_{atm} = 1,013 bar$ est la pression atmosphérique, $𝑘$ une constante appelée coefficient de piézorésistivité et $𝑅_0$ est la valeur de la résistance pour $𝑃 = 𝑃_{atm}$.
Le matériau piézorésistif est placé dans le circuit représenté sur la figure 3 ci- dessous.
$𝐸$ est une tension continue constante. $𝑅_1$ est une résistance variable. $𝑅_3$ et $𝑅_4$ (ici il y a une erreur dans l’énoncé, on parle de $R_3$ et $R_2$) sont des résistances constantes. $𝑢_{mes}$ est la tension mesurée.
6. On cherche à exprimer $𝑢_{mes}$ en fonction des données de l’énoncé.
a. Exprimer $𝑢_1$ en fonction de $𝑅_1, 𝑅_2 et 𝐸$, puis $𝑢_3$ en fonction de $𝑅_3, 𝑅 et 𝐸$.
Pour $u_1$ en fonction de $R_1, R_2 et E$ :
On applique la loi des mailles dans la maille du circuit contenant les tensions $u_1, u_2 et E$ dans le sens horaire, on obtient :
$u_1 + u_2 – E = 0$ , soit $u_1 = E – u_2$ $=E – R_2 i$ avec i le courant traversant la branche contenant les résistances $R_1$ et $R_2$.
On a alors $i = \frac{u_2}{R_2} = \frac{u_1}{R_1}$
$\Rightarrow$ $u_1 = E – \frac{R_2 u_1}{R_1}$ $\Rightarrow$ $u_1[1 + \frac{R_2}{R_1}] = E$ $\Rightarrow$ $u_1 = \frac{E}{\frac{R_1 + R_2}{R_1}}$ $= \frac{E R_1}{R_1 + R_2}$
Pour $u_3$ en fonction de $R_3, R et E$ :
On applique la loi des mailles dans la maille du circuit contenant les tensions $u_3, u et E$ dans le sens horaire, on obtient :
$u_3 + u – E = 0$ , soit $u_3 = E – u$ $=E – R i’$ avec i’ le courant traversant la branche contenant les résistances $R_3$ et $R$.
On a alors $i’ = \frac{u}{R} = \frac{u_3}{R_3}$
$\Rightarrow$ $u_3 = E – \frac{R u_3}{R_3}$ $\Rightarrow$ $u_3[1 + \frac{R}{R_3}] = E$ $\Rightarrow$ $u_3 = \frac{E}{\frac{R_3 + R}{R_3}}$ $= \frac{E R_3}{R_3 + R}$
b. En déduire que $𝑢_{mes} = (\frac{R_1}{R_1 + R_2} - \frac{R_3}{R + R_3})E$
Dans la maille en haut à gauche du circuit, en appliquant la loi des mailles dans le sens horaire on obtient :
$u_1 – u_{mes} – u_3 = 0$ , $\Rightarrow$ $u_{mes} = u_1 – u_3 $ $= \frac{R_1 E}{R_1 + R_2} – \frac{R_3 E}{R + R_3}$ $= (\frac{R_1}{R_1 + R_2} – \frac{R_3}{R + R_3})E$
7. On veut ajuster la résistance $𝑅_1$ afin d’avoir $𝑢_{mes} = 0$ lorsque $𝑃 = 𝑃_{atm}$. Déterminer l’expression de $𝑅_1$ permettant d’avoir $𝑢_{mes} = 0$ lorsque $𝑃 = 𝑃_{atm}$, en fonction de $𝑅_0, 𝑅_2 et 𝑅_3$.
On recherche la valeur de $R_1$ lorsque $R=R_0$ et $u_{mes}=0$.
$\Rightarrow$ $\frac{R_1}{R_1+R_2} = \frac{R_3}{R_0+R_3}$ $\Rightarrow$ $R_1 R_0 + R_1 R_3 = R_1 R_3 + R_2 R_3$ $\Rightarrow$ $R_1 [R_0 + R_3 – R_3] = R_2 R_3$ $\Rightarrow$ $R_1 = \frac{R_2 R_3}{R_0}$
8. On considère une variation de pression $Δ𝑃$ positive par rapport à $𝑃_{atm}$ de sorte que : $𝑃 = 𝑃_{atm} + Δ𝑃$.
a. Montrer que la résistance $𝑅$ peut s’écrire sous la forme $𝑅 = 𝑅_0 + Δ𝑅$. Exprimer $Δ𝑅$ en fonction de $𝑘, Δ𝑃 et 𝑅_0$.
On sait que : $R=R_0[1 + k(P – P_{atm})]$, avec ici, $P = P_{atm} + \Delta P$ on obtient :
$R=R_0[1 + k( P_{atm} + \Delta P – P_{atm})]$ $=R_0[1 + k \Delta P]$ $=R_0 + k R_0 \Delta P$
On retrouve un $\Delta R = k R_0 \Delta P$
b. En pratique, pour les pressions artérielles usuelles, le coefficient de piézorésistivité $𝑘$ et la variation de pression $Δ𝑃$ sont tels que $Δ𝑅 ≪ 𝑅_0$ ($Δ𝑅$ très petit devant $𝑅_0$). Proposer une condition reliant $𝑘$ et $Δ𝑃$ pour avoir $Δ𝑅 ≪ 𝑅_0$. Cette condition est supposée remplie dans la suite.
Si $Δ𝑅 ≪ 𝑅_0$ alors $k R_0 ΔP ≪ 𝑅_0$ $\Rightarrow$ $k ΔP ≪ 1$ soit $ ΔP ≪ \frac{1}{k}$
c. Montrer qu’à une variation de pression $Δ𝑃$ est associée une tension mesurée $𝑢_{mes} ≃ \frac{𝑅_3}{(𝑅_0 + 𝑅_3)^2} \times 𝑅_0 × 𝑘 Δ𝑃 × 𝐸$ En déduire l’expression de la sensibilité du transducteur de pression $𝑆 = \frac{𝑢_{mes}}{Δ𝑃}$ en fonction des données de l’énoncé. Précisé l’unité de $𝑆$ et donner le sens physique de cette grandeur.
Nous avons :
$𝑢_{mes} = (\frac{R_1}{R_1 + R_2} – \frac{R_3}{R + R_3})E$ $\Rightarrow$ $𝑢_{mes} = (\frac{R_1}{R_1 + R_2} – \frac{R_3}{R_0 + \Delta R + R_3})E$ $\Rightarrow$ $𝑢_{mes} = (\frac{R_1}{R_1 + R_2} – \frac{R_3}{R_0 + k R_0 \Delta P + R_3})E$ $\Rightarrow$$𝑢_{mes} = (\frac{R_1 R_0 + k R_1 R_0 \Delta P + R_1 R_3 – R_3 R_1 – R_2 R_3}{(R_1 + R_2)(R_0 + k R_0 \Delta P + R_3)})E$ $\Rightarrow$ $𝑢_{mes} = (\frac{R_1 R_0 + k R_1 R_0 \Delta P – R_2 R_3}{(R_1 + R_2)(R_0 + k R_0 \Delta P + R_3)})E$ ,
Or $R_1 R_0 = R_2 R_3$ et $R_1 + R_2 = \frac{R_2 R_3}{R_0} + R_2$ $=\frac{R_2}{R_0}(R_3 + R_0)$, on a alors :
$𝑢_{mes} = (\frac{k R_1 R_0 \Delta P }{\frac{R_2}{R_0}(R_3 + R_0)(R_0 + k R_0 \Delta P + R_3)})E$ $\Rightarrow$ $𝑢_{mes} = (\frac{k R_3 R_0 \Delta P }{(R_3 + R_0)(R_0 + k R_0 \Delta P + R_3)})E$ $\Rightarrow$ $𝑢_{mes} = (\frac{k R_3 R_0 \Delta P }{(R_3 + R_0)^2})E$ car $\Delta R << R_0$
Unité de S : $\frac{[Volt]}{[Pascal]}$ représente la variation de la tension mesurée pour une variation de pression du matériau.
9. Expliquer en quelques lignes comment ce système peut être utilisé pour mesurer les variations de pression artérielle $Δ𝑃$ en fonction du temps.
Le matériau peut être placé au sein du milieu dont la pression est étudiée. Lors d’un changement de pression, une variation de la tension pourra être lue directement, cette tension est liée à l’intensité de la variation de la pression et varie instantanément.
