TRANSPORT TERMIQUE
Loi de Fourier / Puissance thermique
$P = – \lambda \frac{dT}{dx} \times S$
EXERCICE 1
On dispose de deux tiges métalliques de longueur $L_1$ et $L_2$ et de même section mise bout à bout. A l’extrémité de la première tige on applique une température de $T_1 = 60°C$ et à l’autre extrémité de la deuxième tige on applique une température de $T_2=40°C$. On donne la conductivité thermique de chaque tige $\lambda_1 = 15W.K^{-1} .m^{-1}$ et $\lambda_2 = 5W.K^{-1} .m^{-1}$ et on se place en régime permanent.
Calculer la température $T_e$ au point de contact entre les 2 tiges ?
Appliquer la loi de Fourier pour chaque tige en faisant attention à la variation de température sachant que la puissance thermique est conservative ici.
CORRIGÉ
Exercice 1
Dans la première tige on a : $P_1 = – \lambda_1 \frac{dT}{dx} \times S_1$ $=- \lambda_1 \frac{(T_e – T_1)}{L_1} \times S_1 $
Dans la deuxième tige on a :$P_2 = – \lambda_2 \frac{dT}{dx} \times S_2$ $=- \lambda_2 \frac{(T_2 – T_e)}{L_2} \times S_2 $
Attention ici au sens des températures car le flux thermique va dans la même direction dans les 2 tiges.
On a de plus la conservation du flux thermique dans les 2 tiges, soit : $P_1=P_2$
Ce qui nous donne : $- \lambda_1 \frac{(T_e – T_1)}{L_1} \times S_1 =- \lambda_2 \frac{(T_2 – T_e)}{L_2} \times S_2 $
Soit : $ \lambda_1 (T_e – T_1) = \lambda_2 (T_2 – T_e) $ car $L_1=L_2$ et $S_1=S_2$
On retrouve au final : $T_e=\frac{\lambda_1 T_1 + \lambda_2 T_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$
On remarque que si $\lambda_1= \lambda_2$ alors $T_e=\frac{ T_1 + T_2}{2}$ ce qui correspond à la température moyenne si les 2 tiges sont identiques.
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