Physique BCPST
CIRCUITS | Le condensateur
Exercice 1 : Condensateur en dérivation
Les caractéristiques d’un condensateur sont les suivantes : $C_1= 470µF$; tension d’entré : $U = 100 V$.
Le condensateur étant chargé, on l’isole, puis on l’associe en parallèle à un condensateur de capacité $C_1=1000µF$ initialement déchargé. Calculer :
indice : Dans ces conditions on a la conservation de la charge soit : $q = q_1 + q_2$
1) La charge totale de l'ensemble formé par les deux condensateurs.
Réponse
$q_1=C_1 U = 47.10^{-3}C$, on a la continuité de la charge lorsque l’on associe les 2 condensateurs : $q_1+q_2=47.10^{-3}C$
2) La tension commune aux deux condensateurs en régime permanent.
Réponse
La tension aux bornes de $C_1$ est la même que celle de $C_2$ car ils sont en dérivation. Soit $U_1 = U_2$
On a : $C_1 U_1 + C_2 U_2 = q_1 + q_2$ $\Rightarrow$ $ U = \frac{q_1+q_2}{C_1 +C_2}=320V$
3) L'énergie emmagasinée par le montage.
Réponse
$E = \frac{1}{2} C_{eq} U^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) U^2=24kJ$
Exercice 2 : Résistance de fuite d'un condensateur
On démonte d’un circuit un condensateur de capacité $C= 100 pF$ initialement chargé sous une tension de $E= 10 V$ et on le laisse posé sur la paillasse. Au bout de $deux minutes$, la tension aux bornes du condensateur ne vaut plus que $1 V$.
Exercice 3 : Charge d'un condensateur à l'aide d'une source de tension
Pour $t < 0$, le circuit est au repos et $e(t)$ est un échelon d’amplitude $E$.
1) On s'intéresse à l'état du circuit juste après l'application de la tension $E$ ; déterminer $i_1(0^+)$ ,$i_2(0^+)$, $i(0^+)$ et $v(0^+)$
Réponse
à $t<0$ le circuit est au repos donc $v(0^-)=0$, or une des propriétés du condensateur est que sa tension est continue donc $v(0^-)=v(0^+)=0$.
Sur le schéma on voit que la tension aux bornes de $R_2$ est la même que celle au borne du condensateur. On a $v(t)=U_{R_2}$, ce qui implique à $t=0^+$ $v(0^+)=U_{R_2}(0^+) =0$ avec $U_{R_2}(0^+)= R_2 i_2(0^+)$ donc $i_2(0^+)=0$
D’après la loi des nœuds $i_1 = i_2+i$, à $t=0^+$, $i_1(0^+)=i_2(0^+)+i(0^+) = i(0^+)$
Il n’y a pas de courant dans la branche $i_2$ on peut alors appliquer la loi des mailles :
$e(0^+) – u_{R_1} – v(0^+) = 0$ $\Rightarrow$ $E= R_1 i_1(0^+)$ $\Rightarrow$ $i_1(0^+)= \frac{E}{R_1}$ et $i(0^+)= \frac{E}{R_1}$
2) On s'intéresse au régime permanent ; déterminer : $i_1(+\infty)$, $i_2(+\infty)$, $i(+\infty)$ et $v(+\infty)$
Réponse
Quand le condensateur est chargé en régime permanent, il ne laisse plus passer le courant, on a $i(+\infty) =0$
D’après la loi des noeuds on obtient : $i_1(+\infty)=i_2(+\infty) $
En appliquant la loi des mailles à la maille contenant le générateur et les deux résistances, on a : $E – U_{R_1} – U_{R_2} = 0$ $\Rightarrow$ $R_1 i_1 + R_2 i_2 = E$ avec $i_1=i_2$
$\Rightarrow$ $i_2(+\infty)= i_1(+\infty)= \frac{E}{R_1 + R_2}$
De plus la tension $v(t)=U_{R_2}(t)$, donc :
$v(+\infty)=R_2 i_2(+\infty)= \frac{R_2 \times E}{R_1 + R_2}$ (on reconnait le diviseur de tension)
