Physique BCPST
Loi Bernoulli | Hydrodynamique
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C. IMPLOSION D’UNE BULLE
On s’intéresse au phénomène de cavitation : il s’agit de la naissance de bulles de gaz ou de vapeur dans un liquide soumis à une dépression. Si cette dépression est suffisamment importante, la pression peut devenir inférieure à la pression de vapeur saturante $𝑃_{sat}$ et une bulle de vapeur est susceptible de se former. Celle-ci va imploser et voir son rayon passer d’une valeur initiale $𝑅_0$ à zéro.
La cavitation est responsable du phénomène d’embolie gazeuse chez les arbres en période de grande sécheresse pouvant entrainer la mort des arbres. Dans cette étude, on considérera l’ensemble des phénomènes mis en jeu comme isothermes et on négligera tout phénomène de transferts thermiques.
Modèle simple d’implosion
On suppose qu’initialement la bulle de gaz a pour rayon $𝑅_0$ et contient du gaz à la pression $𝑃_{sat}$.
Le liquide, de masse volumique $ρ$ constante, s’écoule autour de la bulle immobile. Loin de la bulle, la pression du liquide est supposée constante et égale à $𝑃_0 > 𝑃_{sat}$.
On appelle vitesse radiale de l’interface liquide/gaz matérialisant la bulle, la dérivée temporelle de $𝑅_(𝑡) : 𝑣 = \frac{𝑑𝑅}{𝑑𝑡}$ . On néglige tout phénomène de tension superficielle ainsi que les forces de pesanteur et on suppose qu’on se place, du point de vue du liquide, dans les conditions d’application de la relation de Bernoulli.
31. Rappeler les conditions d’application de la relation de Bernoulli et l’appliquer sur une ligne de courant horizontale allant du cœur du liquide à la bulle de rayon $𝑅$. On supposera que le liquide en contact avec la bulle est à la pression $𝑃_{sat}.
Réponse
Conditions d’application de la relation de Bernoulli :
Le fluide doit être parfait avec une masse volumique constante (fluide incompressible). Le régime doit être stationnaire. Il ne doit pas y avoir de travail utile (W’=0 : machine extérieure) ni d’échange thermique avec l’extérieur (Q=0).
Dans ces conditions on a :
$\Delta (\frac{1}{2} v^2 + gz + \frac{P}{\rho})=0$
soit :
$\frac{1}{2} v_L^2 + g z_L + \frac{P_0}{\rho} = \frac{1}{2} v_R^2 + g z_R + \frac{P_{sat}}{\rho}$
32. En déduire la vitesse radiale $𝑣$ de l’implosion. On s’attachera à bien respecter le signe de $𝑣$.
Réponse
$\frac{1}{2} v_L^2 + g z_L + \frac{P_0}{\rho} = \frac{1}{2} v_R^2 + g z_R + \frac{P_{sat}}{\rho}$ avec $z_R = Z_L$ et $V_L=0$ ce qui revient à : $ \frac{P_0}{\rho} = \frac{1}{2} v_R^2 + \frac{P_{sat}}{\rho}$ $\Rightarrow$ $V_R = \sqrt{\frac{2}{\rho} (P_0 – P_{sat})}$
Application Numérique :
$V_R = \sqrt{\frac{2}{1,0.10^3} (1 -0,032)} = 0,044m.s^{-1}$ or $V_R$ est négatif car le rayon diminue avec le temps donc $\frac{dR}{dt}<0$. Donc $V_R = – 0,044m.s^{-1}$
33. En supposant $𝑣$ constante, en déduire la loi horaire $𝑅(𝑡)$.
Réponse
Soit $v= \frac{dR}{dt} = cte =A$ $\Rightarrow$ $R(t) = At + R_0$
34. En déduire le temps $τ$ d’implosion de la bulle en fonction de $ρ$, $𝑅_0$, $𝑃_0$ et $𝑃_{sat}$
Réponse
On cherche $\tau$ tel que $R(\tau) = 0 = A \tau + R_0$ Soit : $A\tau= – R_0$ $\Rightarrow$ $\tau = – \frac{R_0}{A}$
Application Numérique :
$\tau = – \frac{1,0.10^{-3}}{-0,044} = 0,023s =23ms$
