Physique |
ONDES ET SIGNAUX | RÉGIME FORCÉ
Exercice 1
1) Le circuit est soumis à une tension d'entrée $u_e$ telle que $u_e =0$ si $t<0$ et $u_e =E$ si $t \ge 0$ (échelon de tension).
Établir l'équation différentielle de la réponse $u_S$.
Appliquons la loi des mailles :
$E – u_R – u_S = 0$ soit $u_R + u_S = E$ $\Rightarrow$ $Ri + u_S = E$ avec $i = C \frac{du_S}{dt}$
$\Rightarrow$ $R C \frac{du_S}{dt} + u_S = E$ $\Rightarrow$ $\frac{du_S}{dt} + \frac{u_S}{RC} = \frac{E}{RC}$
2) On branche une deuxième capacité de valeur $C'$ en dérivation avec la capacité $C$. Déterminer la capacité unique $C_{eq}$ qui est équivalente à l'ensemble des 2 capacités.
On utilise la formule d’association de 2 capacités en dérivation (pour rappel c’est l’inverse des formules d’association des résistances), si les 2 capacités sont en dérivation alors la capacité équivalente est $C_{eq} = C + C’$
3) On alimente le circuit par une tension sinusoïdale $u_E=E cos(\omega t)$. Donner l'expression des fonctions de transferts dans chaque cas en utilisant la méthode des complexes. Quel sera l'impact sur la fréquence de coupure ?
$\underline{u_E}= E e^{j \omega t} = \underline{E} e^{j \omega t}$ avec $\underline{E} = E$
$\underline{u_S}= U_S e^{j (\omega t +\phi)} = \underline{U_S} e^{j \omega t}$ avec $\underline{U_S} = U_S e^{j \phi}$
Passage de l’équation différentielle en complexe :
$\frac{\frac{d u_S}{}}{dt} + \frac{\frac{\underline{u_S}}{}}{RC} = \frac{\frac{\underline{u_E}}{}}{RC}$ $\Rightarrow$ $j \omega \underline{u_S} + \frac{\underline{u_S}}{RC} = \frac{\underline{u_E}}{RC}$ $\Rightarrow$ $\underline{u_S}[j \omega + \frac{1}{RC}] = \frac{\underline{u_E}}{RC}$ $\Rightarrow$ $\underline{u_S}[j \omega RC + 1] = \underline{u_E}$
Donc : $\underline{H} = \frac{u_S}{u_E} = \frac{1}{1+ j RC \omega}$
et $\underline{H’} = \frac{1}{1+ j RC_{eq} \omega}$
De plus la fréquence de coupure est définie pour ce circuit par : $f_C = \frac{1}{2 \pi RC}$ et $f_{C’} = \frac{1}{2 \pi RC_{eq}}$
la fréquence de coupure $f_{c}’$ sera plus petite que $f_c$
