Physique |
ONDES ET SIGNAUX | FILTRES
Exercice 1
1) Pour les quatre diagrammes de Bode ci-dessous, indiquer le type de filtre dont il s'agit.
(sur les diagrammes la fréquence de coupure est indiquée par la droite verte représentant un gain -3dB équivalent au $\frac{G_{max}}{\sqrt{2}}$ (le gain en dB est hors programme))
Filtre 1 :
Filtre 2 :
Filtre 3 :
Filtre 4 :
1) Filtre 1 : Passe-haut
Filtre 2 : Passe-haut
Filtre 3 : Coupe bande
Filtre 4 : Passe-bas
2) On envoie en entrée de chacun des filtres le signal :
$e(t)= E_0[1 + cos(\omega t) + cos(10 \omega t + \frac{\pi}{4}) + cos(100\omega t - \frac{\pi}{3})]$
où la fréquence $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ vaut $1kHz$. Déterminer l'expression du signal s(t) de sortie pour chaque filtre.
Ici il faut bien comprendre que l’allure du gain nous informera sur l’amplitude de sortie et l’allure du déphasage sur la valeur dans le cosinus.
-Pour le premier filtre, les signaux dont la fréquence est inférieure à $20kHz$ sont filtrés. Il filtre alors la composante continue (fréquence nulle), la composante $1kHz$ et la composante $10kHz$ il reste alors :
$e(t)= E_0[cos(100\omega t – \frac{\pi}{3})] $
étudions alors le déphasage avec le deuxième graphique. Pour une fréquence de $100khz$ on a un déphasage nul, il n’y a alors pas de changement de phase au final on a :
$e(t)= E_0[cos(100\omega t – \frac{\pi}{3})] $
-Pour le deuxième filtre, les signaux dont la fréquence est inférieure à $0,1kHz$ sont filtrés. Il filtre la composante continue (fréquence nulle) reste alors :
$e(t)= E_0[cos(\omega t) + cos(10 \omega t + \frac{\pi}{4}) + cos(100\omega t – \frac{\pi}{3})]$
étudions alors le déphasage avec le deuxième graphique. Pour une fréquence supérieure à $10kHz$ on a un déphasage nul, par contre pour une fréquence de $1 kHz$ on a un déphasage de $0,5 rad$ au final on a :
$e(t)= E_0[cos(\omega t +0,5) + cos(10 \omega t + \frac{\pi}{4}) + cos(100\omega t – \frac{\pi}{3})]$
-Pour le troisième filtre, les signaux compris entre $0,5kHz$ et $2 kHz$ sont filtrés. Il reste alors :
$e(t)= E_0[1 + cos(10 \omega t + \frac{\pi}{4}) + cos(100\omega t – \frac{\pi}{3})]$
étudions alors le déphasage avec le deuxième graphique. Pour la composante nulle et les fréquences supérieure à $10kHz$ le déphasage est nul au final on a :
$e(t)= E_0[1 + cos(10 \omega t + \frac{\pi}{4}) + cos(100\omega t – \frac{\pi}{3})]$
Exercice 2
Soit le circuit suivant et sa fonction de transfert associée :
1) Quel est l'ordre de ce filtre ?
On peut déterminer l’ordre du filtre grâce à sa fonction de transfert (attention le nombre de condensateur n’intervient pas !) ici dans la fonction de transfert on repère du $- \omega ^2$ si on étudie le filtre grâce aux complexes, on sait que ce terme provient d’une dérivée seconde car $\frac{d}{dt} \rightarrow j \omega$ et $\frac{d^2}{dt^2} \rightarrow (j \omega)^2 = – \omega ^2$
2) Déterminer l'expression du gain et du déphasage.
Pour le gain :
$G = | \underline H | = |\frac{j \omega RC}{1 – \omega ^2 R^2 C^2 +3 j \omega RC}|$ $= \frac{|j \omega RC|}{|1 – \omega ^2 R^2 C^2 +3 j \omega RC|}$ $= \frac{\sqrt{ (\omega RC)^2}}{\sqrt{(1 – \omega ^2 R^2 C^2)^2 +(3 \omega RC)^2}}$ $= \frac{\omega RC}{\sqrt{(1 – \omega ^2 R^2 C^2)^2 +(3 \omega RC)^2}}$
Pour le déphasage :
$\phi = arg(\underline {H}) = arg(\frac{j \omega RC}{1 – \omega ^2 R^2 C^2 +3 j \omega RC})$ $=arg(j \omega RC) -arg(1 – \omega ^2 R^2 C^2 +3 j \omega RC)$ $=arctan(\frac{RC \omega}{0^+}) – arctan(\frac{3 \omega RC}{1 – \omega ^2 R^2 C^2})$ $=\frac{\pi}{2}- arctan(\frac{3 \omega RC}{1 – \omega ^2 R^2 C^2})$
