Tension superficielle
Loi de Laplace | Coalescence
Extrait du sujet 2024 A BCPST (voir le sujet corrigé complet)
A. TENSION SUPERFICIELLE, COALESCENCE ET LOI DE LAPLACE
Tension superficielle
1. Quelles sont les forces intermoléculaires responsables de la cohésion d’un liquide à molécules aprotiques ? Quelle est leur origine ? Préciser leur caractère attractif ou répulsif.
Ce sont les forces de Van Der Waals, ce sont des forces attractives d’origine électrostatique.
2. On considère deux molécules du liquide : la molécule A est au cœur du liquide et la molécule B à la surface du liquide et du gaz le surplombant. On a représenté également les molécules plus proches voisines de A et de B, avec lesquelles elles sont en interaction. Représenter les différentes forces intermoléculaires s’appliquant sur chaque molécule et en déduire l’origine de la tension superficielle.
Dans le liquide, la molécule A subit des forces égales de toutes les directions.
La molécule B subit moins d’interactions avec les molécules du gaz qu’avec celles du liquide. Il y a un déséquilibre dans les forces et le bilan donne une force orientée vers le bas qui tend à maintenir la molécule dans le liquide.
3. Exprimer l’énergie $𝐸$ associée à la surface $𝑆$ de l’interface liquide-gaz en fonction du coefficient de tension superficielle $𝛾$. Quelle est l’unité S.I. de $𝛾$ ?
$E = \gamma S$
$\gamma = \frac{E}{S} = \frac{[J]}{[m^2]}$ or $1 Joule = 1 kg.m^2.s^{-2}$ $\Rightarrow$ $\gamma = \frac{[kg]}{[s^2]}$
Coalescence de deux gouttes
La coalescence est la fusion de deux gouttes lorsque celles-ci entrent en contact. Le processus est favorable s’il induit une diminution globale de l’énergie du système, ici une diminution de l’énergie de surface. Supposons qu’on étudie la coalescence de deux gouttes de liquide identiques de rayon $𝑅$ pour donner une goutte de rayon $𝑅’$ :
4. En raisonnant sur la minimisation de l’énergie de surface et en négligeant les effets de la pesanteur, justifier pourquoi les gouttes ont une forme sphérique.
La surface d’un volume doit dépenser le moins d’énergie possible et le volume dont la surface est la plus petite est la sphère.
5. En supposant le liquide incompressible, exprimer $𝑅’$ en fonction de $𝑅$.
Utilisons la propriété d’extensivité du volume. On retrouve le même volume avant et après, soit :
$V_1 + V_2 = V’$, or $V_1 = V_2$
$\Rightarrow$ $2 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R’^3$ $\Rightarrow$ $2 R^3 = R’^3$ $\Rightarrow$ $R’= R \sqrt[3]{2}$
6. Déterminer la surface $𝑆’$ de la goutte issue de la coalescence et la comparer à la surface des gouttes de départ. Conclure sur le caractère favorisé ou non de la coalescence.
$S’=4 \pi R’^2= 4 \pi R^2 2^{\frac{2}{3}}$ et $2S=8\pi R^2$
On peut étudier le rapport $\frac{S’}{2S}$ :
$\frac{S’}{2S}= \frac{4 \pi R^2 2^{\frac{2}{3}}}{8 \pi R^2}$ $=\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}<1$
Donc : $S'<2S$, la surface du nouveau volume est plus petite donc l’énergie associée à cette surface également.
7. Représenter une molécule tensioactive à tête polaire et à queue apolaire. Sur un schéma, expliquer comment vont se positionner les tensioactifs à l’interface goutte-liquide dans le cas d’un milieu aqueux et d’une goutte apolaire.
Schéma d’une molécule amphiphile (tête polaire, queue apolaire) :
à l’interface cas du milieu aqueux :
à l’interface d’une goutte apolaire :
8. Les tensioactifs ont pour effet de diminuer la tension superficielle en se positionnant à l’interface goutte-solution et empêchent la coalescence. Quelle peut être la nature des forces répulsives mises en jeu pour empêcher la coalescence ?
La force répulsive est d’origine électrostatique, les têtes polaires sont de même polarités et se repoussent.
Loi de Laplace
Il existe une différence de pression entre l’intérieur et l’extérieur d’une gouttelette liquide due à l’existence de la tension superficielle qui tend à courber la gouttelette. On considère une gouttelette liquide sphérique (figure ci-dessous à gauche) de rayon $𝑅$ et de pression intérieure $𝑃_i$ en équilibre avec le milieu extérieur de pression $𝑃_e$. On note $∆𝑃 = 𝑃_i – 𝑃_e$ la différence de pression avec $∆𝑃 > 0$.
9. Donner la loi de Laplace exprimant $∆𝑃$ en fonction de $𝛾$ et $𝑅$.
$\Delta P = \frac{2 \gamma}{R}$
10. Calculer $∆𝑃$ dans le cas d’une gouttelette d’eau en suspension dans l’air, de rayon $𝑅 = 50 μ𝑚$ pour laquelle $𝛾_{eau} = 73.10^{−3} S.I (à 20°C)$.
$\Delta P = \frac{2 \gamma}{R}$
Application Numérique :
$\Delta P = \frac{2 \times 73.10^{-3}}{50.10^{-6}} = 2920Pa$
Dans le cas d’une bulle de savon (figure ci-dessus à droite), il y a deux interfaces air – eau liquide : on note $𝑃_i$ la pression de l’air à l’intérieur, $𝑃_{eau}$ la pression de l’eau dans le film de savon
et $𝑃_e$ la pression de l’air extérieur. On note $𝑅_i$ le rayon intérieur, $𝑅_e$ le rayon extérieur du film et $𝛾_{savon} = 25.10^{−3} S.I$. (à 20°C) la tension superficielle de l’interface air – eau savonneuse.
11. Écrire les lois de Laplace pour les deux surfaces intérieure et extérieure puis en déduire l’expression de $∆𝑃 = 𝑃_i – 𝑃_e$ en fonction de $𝛾_{savon}, 𝑅_i et 𝑅_e$.
$P_i – P_{eau} = \frac{2 \gamma _{savon}}{R_i}$ et $ P_{eau} – P_e= \frac{2 \gamma _{savon}}{R_e}$
Soit $\Delta P = P_i – P_e = P_i – P_{eau} + P_{eau} – P_e$ $= \frac{2 \gamma _{savon}}{R_i} + \frac{2 \gamma _{savon}}{R_e}$
12. Simplifier l’expression précédente dans le cas d’un film mince pour lequel $𝑅_i = 𝑅_e = 𝑅$. Calculer $∆𝑃$ avec $𝑅 = 100 μ𝑚$.
Si $R_e = R_i$ alors $\Delta P = \frac{4 \gamma _{savon}}{R}$
Application Numérique :
$\Delta P = \frac{4 \times 25 .10^{-3}}{100.10^{-6}}=1000Pa$
