Exercice 1
Physique BCPST
Thermodynamique | Enthalpie
Les glaciers du monde représentent environ 70% de la masse d’eau douce présente sur la planète sur une superficie de 15 millions de km2. La France quant à elle compte une surface glaciaire d’environ 300 km², répartie entre les massifs des Ecrins, de la Vanoise et du Mont-Blanc. Dans ce sujet, nous nous intéressons à des problèmes physiques liés aux glaciers. La partie A est consacrée au matériel de l’expédition (réchaud et jumelles). La partie B s’intéresse au slalom d’un skieur dans une forêt tandis que la partie C s’intéresse au temps de freinage d’un traîneau glissant sur la glace. La partie D traite de l’écoulement d’un glacier tandis que la partie E étudie les transferts thermiques au niveau du glacier. Les parties sont indépendantes.
A. MATÉRIEL DE L'EXPÉDITION
Évaluation de l’altitude par hypsométrie
Disposant d’un altimètre défectueux et mal étalonné, l’équipe scientifique souhaite évaluer son altitude h, en mesurant l’enthalpie de vaporisation de l’eau et en la corrélant à l’altitude (principe de l’hypsométrie).
Pour cela, on porte à ébullition de l’eau liquide de masse volumique $ \rho = 1,0.10^3 kg.m^{−3}$ grâce à un réchaud à gaz de puissance 𝑃 = 1230 W. Au bout d’une durée $ \Delta 𝑡 = 9,3 minutes $ après le début de l’ébullition, on constate que le niveau de l’eau dans une casserole cylindrique de diamètre 𝑑 = 15 cm, a diminué de $ \Delta 𝑥 =1,7 cm$.
1. Déterminer littéralement la masse $ \Delta m$ d’eau qui s’est vaporisée pendant la durée $\Delta 𝑡$. Faire l’application numérique pour $\Delta 𝑚$.
La masse d’eau vaporisée peut être retrouvée connaissant le volume d’eau vaporisée, en effet : $\Delta m = \rho V$ avec $V =S . \Delta x$ , soit :
$\Delta m = \rho \pi (\frac{d}{2})^2 \Delta x$
Application Numérique :
$\Delta m = 1,0.10^3 \pi (\frac{15.10^{-2}}{2})^2 . 1,7.10^{-2}$ $=0,3 kg$
2. Déterminer littéralement l’enthalpie massique de vaporisation 𝐿𝑣𝑎𝑝 de l’eau à l’altitude ℎ. Faire l’application numérique en exprimant 𝐿𝑣𝑎𝑝 en $J.g^{−1}$.
L’énergie de vaporisation $L_{vap}$ représente l’énergie nécessaire pour vaporiser 1g d’eau. Si on retrouve l’énergie totale utilisée pour vaporiser la masse $\Delta m$ alors on peut retrouver $L_{vap}$.
On connait la puissance du réchaud et son temps d’utilisation, donc l’énergie utilisée est de : $E_{vap} = P \times \Delta t$
Donc, $L_{vap}=\frac{P \Delta t}{\Delta m}$
Attention ici à bien convertir les minutes en secondes : $9,3 minutes$ $=9,3 \times 60 secondes$ , on laisse la masse en g car on veut $L_{vap}$ en $J.g^{-1}$
Application Numérique :
$L_{vap}=\frac{1230 \times 9,3 \times 60}{0,3}$ $=2,3.10^3 J.g^{-1}$
3. Déterminer numériquement, en °C, la température d’ébullition $\theta_{eb}$ de l’eau à l’altitude ℎ sachant qu’on a la relation empirique : $𝐿_{𝑣𝑎𝑝} = 𝐴 + 𝐵 \theta_{𝑒𝑏}$ avec $𝐴 = 2510 J.g^{−1}$, $𝐵 = − 2,54 J.g^{−1}.°C^{−1}$ et $\theta_{eb} en °C
La relation $𝐿_{𝑣𝑎𝑝} = 𝐴 + 𝐵 \theta_{𝑒𝑏}$ nous donne : $\theta_{𝑒𝑏} = \frac{L_{vap} -A}{B}$
Application Numérique :
$\theta_{𝑒𝑏} = \frac{2,3.10^3 – 2510}{-2,54}$ $=82,7°C$
4. Déterminer numériquement la pression 𝑃(ℎ) sachant que : log 𝑃sat = $5,1 - \frac{1660}{T_{eb}-45,7}$ avec $P_{sat}$ la pression de vapeur saturante en bar, log le logarithme à base 10 et $𝑇_{eb}$ la température d’ébullition en K.
log 𝑃sat = $5,1 – \frac{1660}{T_{eb}-45,7}$ donc $P_{sat} = $ $10^{(5,1 – \frac{1660}{T_{eb}-45,7})}$
Application Numérique :
$P_{sat} = $ $10^{(5,1 – \frac{1660}{(82,7+273,15) – 45,7})}$ $=0,56 bar $
5. La relation barométrique suivante permet enfin de déterminer ℎ connaissant 𝑃(ℎ) : $P(h) = P_0 (1 - \frac{0,0065h}{T_0})^{5,255}$ avec $P_0 = 1,013 bar$ et $T_0 = 288 K$ . Déterminer numériquement l’altitude ℎ de l’expédition.
$h = \frac{T_0}{0,0065}[1- \sqrt[5,255]{\frac{P(h)}{P_0}}]$
Application Numérique :
$h=4734m$
Exercice 2
Extrait du sujet 2023 A BCPST voir le sujet corrigé complet
III. Détermination expérimentale de l’enthalpie massique de fusion de la glace.
On propose dans cette sous-partie d’analyser les résultats expérimentaux obtenus par des étudiants à l’occasion d’une séance de travaux pratiques ayant pour but la détermination de la valeur de l’enthalpie massique de fusion de la glace.
23. Rappeler la définition de l’enthalpie massique de fusion de la glace.
L’enthalpie massique de fusion de la glace est l’énergie nécessaire absorbé par la glace par unité de masse pour passer de l’état solide à l’état liquide.
La démarche expérimentale suivie pour déterminer l’enthalpie massique de fusion de la glace met en œuvre une technique calorimétrique particulière, la méthode des mélanges. Le protocole est détaillé dans le document 1, qui donne aussi toutes les indications utiles sur l’affichage des valeurs mesurées par les appareils utilisés.
Document 1 – Détermination de l’enthalpie massique de fusion de la glace par la méthode des mélanges
Protocole
1. Introduire une masse $𝑚_1$ d’eau liquide connue (procéder à une pesée) dans le calorimètre.
2. Une fois l’équilibre thermique atteint, repérer la température $𝜃_1$ de l’eau (et donc du calorimètre).
3. Prélever 5 ou 6 glaçons et les placer dans un verre à pied et mesurer leur masse $𝑚_2$.
4. Attendre que les glaçons commencent à fondre et suivre leur température $𝜃_2$.
5. Lorsque le thermomètre indique que la température des glaçons est $𝜃_2 = 0 °C$, les introduire rapidement dans le calorimètre.
6. Une fois que les glaçons ont fondu et que l’équilibre thermique est atteint, repérer la température finale $𝜃_𝑓$ du système.
Résolution des appareils de mesure
• les masses sont mesurées à l’aide d’une balance électronique qui affiche la valeur de la masse au gramme près. On assimile la valeur mesurée d’une masse à une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle de largeur égale à un gramme, centré sur la valeur affichée par la balance.
• les températures sont repérées à l’aide d’un thermomètre électronique qui mesure et affiche la valeur de la température au dixième de degré Celsius près. On assimile la valeur mesurée d’une température à une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle de largeur égale à un dixième de degré Celsius, centré sur la valeur affichée par le thermomètre.
Les résultats obtenus par un groupe d’étudiants sont les suivants :
$𝑚_1 = 250 g$ $𝑚_2 = 32 g$
$𝜃_1 = 18,7 °C$ $𝜃_2 = 0,0 °C$
$𝜃_𝑓 = 9,7 °C$
24. En supposant que le système {eau+glaçons} évolue de façon adiabatique, établir, à l’aide d’un bilan énergétique, la relation suivante :
$ℓ_𝑓 = − \frac{𝑚_1}{𝑚_2}𝑐_ℓ(𝜃_𝑓 − 𝜃_1) − 𝑐_ℓ(𝜃_𝑓 − 𝜃_2) $.
Bilan d’enthalpie :
$\Delta H = \Delta H_{fus} + \Delta H_{glace} + \Delta H_{eau} = 0$ car le système évolue de façon adiabatique.
$\Delta H_{glace}$ : énergie nécessaire pour faire passer l’eau liquide issue de la glace de la température 0°C à la température finale.
$\Delta H_{eau}$ : énergie nécessaire pour faire passer l’eau liquide de la température 18,7°C à la température finale.
$m_2 l_f + m_2 c_l (\theta _f – \theta_2)+ m_1 c_l (\theta_f – \theta_1)=0 $
$\Rightarrow$ $ℓ_𝑓 = − \frac{𝑚_1}{𝑚_2}𝑐_ℓ(𝜃_𝑓 − 𝜃_1) − 𝑐_ℓ(𝜃_𝑓 − 𝜃_2) $
Afin d’exploiter le résultat de leurs mesures et de prendre en compte les incertitudes de mesure, les étudiants rédigent et utilisent le programme python suivant :
1 ## importation des bibliothèques
2 import numpy as np
3 import numpy.random as rd
4
5 ## Constantes physiques
6 # Capacité thermique massique de l’eau liquide
7 c = 4.18E3
8
9 ## fonctions définies par l’utilisateur
10 def lf(m1,m2,Tf,Te,Tg):
11 »’
12 Renvoie la valeur de lf à partir de
13 – masse d’eau liquide m1 à température initiale Te (en K)
14 – masse de glace m2 à température initiale Tg (en K)
15 – température finale Tf (en K)
16 »’
17 return -(m1/m2)*c*(Tf-Te)-c*(Tf-Tg)
18
19 def calcul_lf(N,m1,m2,Tf,Te,Tg,delta_m,delta_T):
20 »’
21 Renvoie la valeur de l’enthalpie massique de fusion et calcule l’incertitude-type
22 par la méthode de Monte-Carlo, étant donné les valeurs des grandeurs utiles et
23 les largeurs de leurs intervalles de variation. Ces grandeurs sont considérées comme
24 des variables aléatoires avec une loi de probabilité uniforme sur ces intervalles de variation.
25 »’
26 # Création d’un tableau vide contenant N termes
27 liste = np.empty(N)
28 # tirage aléatoire des valeurs des grandeurs (méthode de Monte-Carlo)
29 for i in range(N):
30 me_sim = m1 + (delta_m/2)*rd.uniform(-1,1)
31 mg_sim = m2 + (delta_m/2)*rd.uniform(-1,1)
32 liste[i] = lf(me_sim,mg_sim,Tf,Te,Tg)
33 return [np.mean(liste),np.std(liste)]
34 a=10000
35 resultat = calcul_lf(100000,0.250,0.032,282.7,291.7,273.0,0.001,0.1$)
36 print(« Moyenne = %.2f kJ/kg ; écart-type = %.2f kJ/kg »%(resultat[0]/1000,resultat[1]/1000))
25. Expliquer pourquoi ce programme, bien que sa syntaxe soit correcte, ne fournit pas une valeur satisfaisante de l’incertitude-type sur la mesure de l’enthalpie massique de fusion de la glace.
La méthode Monte-Carlo nécessite d’utiliser l’incertitude type en $\frac{\Delta}{\sqrt{3}}$, on aurait les lignes 30 et 31 qui doivent être :
30 me_sim = m1 + (delta_m/sqrt(3))*rd.uniform(-1,1)
31 mg_sim = m2 + (delta_m/sqrt(3))*rd.uniform(-1,1)
Une fois l’erreur corrigée, le programme fournit le résultat suivant :
1. Moyenne = 253.38 kJ/kg ; écart-type = 3.03 kJ/kg
26. En s’appuyant sur le calcul d’un écart normalisé, comparer la valeur obtenue pour $ℓ_𝑓$ à la valeur de référence donnée dans le tableau de valeurs numériques en début du sujet (page 2).
On calcule l’écart normalisé grâce à la formule suivante :
$E_N = \frac{\lvert {l_{f1}-l_f}\rvert}{u(l_f)}$
Application Numérique :
$E_N = \frac{\lvert {333,5-253,38}\rvert}{3,03}= 26,44$
On trouve un écart normalisé important ce qui implique des résultats incompatibles.
27. Proposer une critique succincte du protocole suivi.
Le protocole suppose que l’échange thermique ne vient que du mélange entre les glaçons et l’eau du calorimètre. Or l’écart principal entre la mesure et la théorie vient de l’étape où les glaçons sont placés dans le verre à pied. Lors de la fonte des glaçons les parois du verre ainsi que l’air échange de l’énergie avec les glaçons. C’est principalement cet échange d’énergie qui est la cause de l’écart important des résultats.
On peut également comprendre cette différence en raisonnant sur la masse de la glace $m_2$. Le calcul de la chaleur latente se fait en gardant cette masse mesurée en tout début de protocole, or la glace fond et la masse de glace diminue, ce n’est plus une masse $m_2$ que l’on place dans le calorimètre mais une masse plus faible.
D’où le résultat en dessous de ce qui est attendu.
